Matrizenrechner

Was dieses Werkzeug tut

Der Matrizenrechner arbeitet über den rationalen Zahlen: jeder Eintrag bleibt ein exakter Bruch, daher sind die Ergebnisse exakt — 1/3 wird nie zu 0.3333. Matrix eingeben, Operation wählen und — wo es hilft — die Rechenschritte lesen.

Grundoperationen

Für Matrizen $A$ und $B$ passender Größe:

Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ — $AB$ und $BA$ unterscheiden sich in der Regel — daher werden beide angeboten.

Gauß-Elimination

Die Zeilenreduktion liegt Rang, Determinante, Inverser und dem Lösen von Systemen zugrunde. Jeder Schritt ist eine der drei elementaren Zeilenoperationen: zwei Zeilen tauschen, eine Zeile skalieren oder ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren. Die reduzierte Zeilenstufenform (führende 1 in jeder Pivotspalte, sonst Nullen in dieser Spalte) zeigt Rang und Lösungsmenge.

Determinante

Bringt man $A$ durch Zeilenoperationen auf obere Dreiecksform, ist die Determinante das Produkt der Diagonale, mit einem Vorzeichenwechsel je Zeilentausch:

Eine Null auf der Diagonale nach der Elimination bedeutet $\det(A) = 0$ — $A$ ist singulär.

Inverse

Erweitere $A$ um die Einheitsmatrix und führe die Gauß-Jordan-Elimination aus: $[\,A \mid I\,] \to [\,I \mid A^{-1}\,]$. Erreicht der linke Block nicht $I$, ist die Matrix singulär und hat keine Inverse.

$Ax = b$ lösen

Reduziere die erweiterte Matrix $[\,A \mid b\,]$. Ein Pivot in der $b$-Spalte bedeutet keine Lösung. Sonst legen die Pivots die Basisvariablen fest; freie Spalten liefern eine Kernbasis, sodass die volle Lösung ein partikulärer Vektor plus eine beliebige Kombination dieser Basisvektoren ist.

Beispiel

Mit $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ und $b = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$ liefert die Elimination die eindeutige Lösung $x = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, und $\det(A) = 5$.

Zahlbereiche

Der Zahlbereich ändert, was ein Eintrag ist. Dieselben Operationen laufen über jedem Bereich, da die Engine gegen einen abstrakten Körper geschrieben ist:

• Brüche — exakte rationale Zahlen (Standard).
• Komplexe Zahlen — exakte gaußsche Rationale $a + b\,i$ mit rationalen $a, b$. Abgeschlossen unter $+,-,\times,\div$ (Division über die Konjugierte), daher bleiben Determinante, Inverse, ZSF und das Lösen exakt. Einträge wie 3+2i, -i oder 1/2 - 3/4 i.
• Symbolisch — Einträge dürfen Variablen enthalten (a, 2x, x^2, (x+1)/(x-1)). Werte sind multivariate rationale Funktionen über $\mathbb{Q}$, die einen Körper bilden, sodass $\det\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc$ und $\begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 1/a & 0 \\ 0 & 1/b \end{bmatrix}$ symbolisch herauskommen. Pivots werden in generischer Lage gewählt (ein symbolisch von Null verschiedener Eintrag gilt als ungleich Null), und Ergebnisse werden konservativ vereinfacht — nie falsch.

Zerlegungen

• LU — $PA = LU$ mit unterer Dreiecksmatrix $L$, oberer $U$ und einer Permutation $P$ für die Zeilentausche. Exakt über jedem Bereich.
• QR — $A = QR$ mit orthonormalem $Q$ und oberer Dreiecksmatrix $R$ (Gram–Schmidt). Benötigt Wurzeln, daher numerisch (näherungsweise).
• Cholesky — für symmetrisch positiv definites $A$ gilt $A = LL^{\mathsf T}$. Ebenfalls numerisch; nicht-SPD wird gemeldet, wenn kein solcher Faktor existiert.

Spektrum

Das charakteristische Polynom $\det(\lambda I - A)$ wird exakt über die Faddeev–LeVerrier-Rekursion berechnet, über jedem Bereich. Eigenwerte sind seine Nullstellen: exakt, wenn sie rational sind, sonst numerisch bestimmt (eine Drehmatrix $\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ liefert also $\pm i$, als näherungsweise markiert). Jeder Eigenvektor spannt den Kern von $A - \lambda I$ auf — exakt für rationales $\lambda$, sonst numerisch.

Nicht exakt darstellbare Ergebnisse werden als näherungsweise gekennzeichnet, damit der Unterschied nie verborgen bleibt.