Matrizenrechner

Was dieses Werkzeug tut

Der Matrizenrechner arbeitet über den rationalen Zahlen: jeder Eintrag bleibt ein exakter Bruch, daher sind die Ergebnisse exakt — 1/3 wird nie zu 0.3333. Matrix eingeben, Operation wählen und — wo es hilft — die Rechenschritte lesen.

Grundoperationen

Für Matrizen $A$ und $B$ passender Größe:

Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ — $AB$ und $BA$ unterscheiden sich in der Regel — daher werden beide angeboten.

Gauß-Elimination

Die Zeilenreduktion liegt Rang, Determinante, Inverser und dem Lösen von Systemen zugrunde. Jeder Schritt ist eine der drei elementaren Zeilenoperationen: zwei Zeilen tauschen, eine Zeile skalieren oder ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren. Die reduzierte Zeilenstufenform (führende 1 in jeder Pivotspalte, sonst Nullen in dieser Spalte) zeigt Rang und Lösungsmenge.

Determinante

Bringt man $A$ durch Zeilenoperationen auf obere Dreiecksform, ist die Determinante das Produkt der Diagonale, mit einem Vorzeichenwechsel je Zeilentausch:

Eine Null auf der Diagonale nach der Elimination bedeutet $\det(A) = 0$ — $A$ ist singulär.

Inverse

Erweitere $A$ um die Einheitsmatrix und führe die Gauß-Jordan-Elimination aus: $[\,A \mid I\,] \to [\,I \mid A^{-1}\,]$. Erreicht der linke Block nicht $I$, ist die Matrix singulär und hat keine Inverse.

$Ax = b$ lösen

Reduziere die erweiterte Matrix $[\,A \mid b\,]$. Ein Pivot in der $b$-Spalte bedeutet keine Lösung. Sonst legen die Pivots die Basisvariablen fest; freie Spalten liefern eine Kernbasis, sodass die volle Lösung ein partikulärer Vektor plus eine beliebige Kombination dieser Basisvektoren ist.

Beispiel

Mit $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ und $b = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$ liefert die Elimination die eindeutige Lösung $x = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, und $\det(A) = 5$.